Рисуем фракталы с помощью PHP и Cairo. Часть 1. Основы фрактальной графики

В этой статье мы узнаем что такое фракталы и как рисовать их на PHP используя GTK и Cairo.

Немного о фракталах. Интересные факты

Фрактал — геометрическая фигура обладающая свойством самоподобия. Слово «фрактал» является производным от латинского слова fractus, что означает дробный. Этим свойством обладают практически все объекты природы — начиная с гигантских скоплений Галактик и заканчивая элементарными частицами такими как кварки.

Галактики, рельефы планет, океанские волны, облака и молнии, реки, формы растений и животных, и даже человеческое тело можно рассматривать как фракталы…

Бенуа Мандельброт (на фото) — отец основатель фрактальной геометрии, бунтарь среди математиков, впервые подробно описал этот термин в книге «Фрактальная геометрия природы», изданной в 1977 году. Эта книга в значительной степени повлияла на развитие компьютерной графики, так представила простой способ для генерации сложных геометрических объектов, таких как горы, облака и растения, необходимых для создания фотореалистичных сцен.

Если бы эта книга не попала в нужный момент в руки Лорена Карпетнера — сооснователя анимационной компании Pixar, может мы бы и не увидели всей красоты декораций таких фильмов как «Властелин колец»,»Аватар», «2012», «Матрица» и прочих. При создании этих фильмов использовался алгоритм Reyes rendering — алгоритм, который по утверждению самого автора «может отрисовать всё что ты когда-либо видел».

Библиотека векторной графики Cairo

Итак, мы начинаем рассмотрение основ фрактальной графики на PHP. В нашей работе мы будем использовать графическую библиотеку Cairo, предназначенную для отрисовки векторной графики. Эта библиотека написана на языке C и может быть использована в связке с такими языками как C++, Python и др.

Данная библиотека обладает тремя существенными преимуществами, обеспечивающими её популярность в среде open source:

  1. открытый исходный код
  2. переносимость графического кода между различными платформами
  3. качественная отрисовка векторной графики

Мы так же будем использовать фреймворк GTK, чтобы иметь возможность взаимодействовать с нашим кодом через графический интерфейс и просматривать получившиеся изображения.

Создание окна GTK. Подготовительный этап

Для начала нам придётся создать класс, который будет отвечать за создание окна. Мы назовём его FractalDrawingWindow и унаследуем его от базового класса GtkWindow, который входит во фреймворк GTK. Это позволит нам работать с оконной системой нашей операционной системы и отображать сгенерированные изображения фракталов внутри неё.

Созданный нами класс представляет собой абстрактный класс, предоставляющий возможность использования окна GTK для отрисовки. Но данный класс не предполагает что именно мы будем рисовать в этом окне, поэтому нам нужно создать для него классы-потомки, которые будут определять конкретный вид функций получения имени окна и способа отрисовки фрактала. Назовём файл с описанием нашего класса как «drawing_window.php», чтобы иметь возможность подключать его в дальнейшем при создании классов-потомков.

Рисуем фракталы с помощью PHP и Cairo

Теперь мы можем приступать к рассмотрению конкретных видов фракталов и способов их рисования. И начнём мы с фрактала, который получил название в честь немецкого математика, Георга Кантора.

Канторова пыль

Ashes to ashes, dust to dust

Фраза из английской похоронной службы, часто используемая для обозначения фатальной неизбежности конца.

Рассмотрим следующий код:

После запуска этого кода мы увидим что-то вроде:

Это двумерная версия фрактала «Канторова пыль», который в классическом варианте встречается в области цифровой обработки сигналов (ЦОС) при решении задачи устранения дискретного шума.

Здесь мы используем свойство рекурсии, о котором мы говорили ранее в предыдущих статьях. Это свойство позволяет сделать наш код наглядным и простым и сфокусироваться на самой отрисовке. Алгоритм отрисовки достаточно прост: мы берём точку слева и рисуем прямоугольник в треть длины всего отрезка сверху, а затем берём точку справа и рисуем такой же отрезок, и после повторяем эту операцию для левой и правой части, погружаясь на всё глубже по уровню рекурсии.

Для того, чтобы нарисовать прямоугольник, нам достаточно всего трёх методов вызываемых из объекта Сairo-context — это:

  • rectangle — устанавливающий параметры прямоугольника,
  • fill — производящий заливку цветом,
  • а так же setSourceRgb — определяющий цвет заливки.

Вообще существует большущий список методов для работы с Cairo-context, так что предлагаю ознакомиться с ним самостоятельно. В дальнейшем мы будем использовать методы из этого списка для отрисовки всё более сложных и красивых фракталов.

Ура, теперь можно сделать перерыв и выпить чашечку чая! Только что мы разобрались в том, как рисовать простейший фрактал используя PHP и Cairo!

Теперь рассмотрим пример посложнее.

Дерево Пифагора

Пифагоровы штаны на все стороны равны. Чтобы это доказать, нужно снять и показать

Народное творчество

Этот фрактал придумал немецкий учитель математики Альберт Босман в 1942 году и назвал его в честь древнегреческого математика Пифагора, потому как каждый уровень этого фрактала содержит фигуры, которые традиционно используются для доказательства теоремы Пифагора: три соприкасающихся квадрата, содержащих между собой прямоугольный треугольник.

Построение данного фрактала начинается с квадрата, над которым строятся ещё два квадрата, уменьшенных на величину √2/2, попарно соединённых между собой общими углами. В классическом случае, угол между двумя квадратами близлежащих уровней составляет 45°, тогда как существуют различные вариации данного фрактала:

  • обнажённое дерево Пифагора — каждый квадрат заменяется отрезком
  • обдуваемое ветром дерево Пифагора — углы слева и справа отличаются от 45°
  • обдуваемое ветром обнажённое дерево Пифагора — сочетаются первые два пункта

Мы же рассмотрим дерево Пифагора в классическом варианте. Вот его код:

После запуска этого кода, можно будет созерцать следующую картину:

Чудесно! Теперь мы видим, что можно создавать достаточно сложные фигуры сравнительно простыми методами, используя свойства рекурсии и графические примитивы библиотеки Cairo!

Здесь мы используем несколько иную технику для отрисовки прямоугольников, нежели чем в предыдущем примере. Сочетание функций moveTo, lineTo и closePath позволяет нам строить любые замкнутые многогранники. Заливка цветом при этом ничем не отличается от предыдущего случая. Мы так же указываем значения интенсивности для красного R, зелёного G и синего B каналов, передавая их в качестве параметров в функцию setSourceRgb, а затем вызываем функцию fill.

Ну и напоследок я хотел бы рассмотреть следующий фрактал.

Дракон Хартера — Хейтуэя

Всё, что может пойти не так, пойдет не так

Закон Мёрфи

Дракон Хратера — Хейтуэя, так же известный как дракон Хартера был впервые представлен в 1967 году Мартином Гарднером в журнале «Scientific American». Своим названием он обязан Джону Хейтуэю и Вильяму Хартеру — двум физикам из NASA, впервые исследовавшим этот фрактал. К сожалению имя третьего физика — Брюса Бэнкса обычно опускают и вместо него ставят прочерк (некоторые люди к сожалению особенно подвержены действию закона Мёрфи).

Итак, рассмотрим следующий код:

На выходе нашей программы мы увидим следующее изображение:

Этот фрактал также называется «Дракон Парка Юрского периода», так как он был приведён в книге американского фантаста Майкла Крайтона «Парк Юрского периода» в качестве иллюстрации непредсказуемости последствий поведения сложной системы. В этом произведении непроверенная компьютерная система оказывается не в состоянии контролировать популяцию животных с непредсказуемой моделью поведения, что приводит к разрушительным последствиям (теория хаоса в действии).

Семь раз отмерь, один раз отрежь

Русская народная поговорка

Закон Мёрфи призван для того, чтобы исключить всякую возможность подобного сценария. В мире программирования он выполняет очень важную роль, и его нужно всегда учитывать. И особенно его нужно учитывать, когда разрабатываемое программное обеспечение выполняет функции управления сложной техникой, от которой зависят человеческие жизни. На практике это означает более тщательный подход к разработке и тестированию программ.

В нашей статье мы рассмотрели различные виды плоских фракталов и способы их отрисовки с помощью графической библиотеки Cairo и фреймворка GTK на PHP. На этом тема фракталов и векторной графики не заканчивается. И мы более подробно раскроем её в следующей статье, которая будет посвящена фрактальной геометрии природы и грамматикам Линденмайера.

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

Этот сайт использует Akismet для борьбы со спамом. Узнайте как обрабатываются ваши данные комментариев.